Задача 57379 ...

5ff1d32e960c3c35933d951f

25.01.2021 23:50:42

★

[red]1)[/red]Применим правило Лопиталя:
найдем производные:
[m]\frac{d(sin(16x))}{dx} = 16cos(16x)[/m]
[m]\frac{d(12x)}{dx}=12[/m]
следовательно, согласно правилу лопиталя, исходный предел можно записать как:
[m]\lim_{x\to 0} \frac{\sin(16x)}{12x}=\lim_{x\to 0} \frac{16cos(16x)}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}[/m]
[red]2)[/red]Аналогично:
найдем производные:
[m]\frac{d(sin(18x))}{dx}=18cos(18x)[/m]
[m]\frac{d(2x)}{dx}=2[/m]
следовательно:
[m]\lim_{x\to 0} \frac{\sin(18x)}{2x}=\lim_{x\to 0} \frac{18cos(18x)}{2} = \frac{18}{2}=9[/m]
[red]3)[/red]Аналогично:
найдем производные:
[m]\frac{d(sin(8x))}{dx}=8cos(8x)[/m]
[m]\frac{d(sin(2x))}{dx}=2cos(2x)[/m]
следовательно:
[m]\lim_{x\to 0} \frac{\sin(8x)}{sin(2x)} =\lim_{x\to 0} \frac{8cos(8x)}{2cos(2x)}=\frac{8}{2}=4[/m]
[red]4)[/red] вспоминаем следствие из второго замечательного предела: [m]\lim_{x\to ∞} (1±\frac{a}{x})^x=e^{±a}[/m]
следовательно нужно подогнать наш предел под это следствие:
[m]\lim_{x\to \infty}(1+\frac{3}{x})^{-x}=\lim_{x\to \infty}(\lim_{x\to \infty}(1+\frac{3}{x})^{x})^{-1} = (e^3)^{-1}=e^{-3}=\frac{1}{e^3}[/m]
[red]4)[/red]По аналогии с предыдущим:
[m]\lim_{x\to \infty}(1-\frac{1}{x})^{-12x}=(\lim_{x\to \infty}(\lim_{x\to \infty}(1-\frac{1}{x})^{x})^{-12}=(e^{-1})^-12=e^{12}[/m]
[red]5)[/red]аналогично:
[m]\lim_{x\to \infty}(1+\frac{6}{x})^{x}=e^6[/m]