Задача 57368 доказать тождество...
Условие
Решение
[m]\frac{1}{sin α }-ctg α =\frac{1}{sin α }-\frac{cos α }{sin α }=\frac{1-cos α }{sin α }=\frac{2sin^2\frac{ α}{2}}{2sin\frac{ α}{2}\cdot cos\frac{ α}{2}}=\frac{sin\frac{ α}{2}}{cos\frac{ α}{2} }=tg\frac{ α}{2}[/m]
Упрощаем левую часть
[m]\sqrt{\frac{tg α-sin α}{tg α+sin α } }=\sqrt{\frac{\frac{sin α}{cos α} -sin α}{\frac{sin α}{cos α} +sin α } }=\sqrt{\frac{\frac{sin α-sin α cos α }{cos α} }{\frac{sin α+sin α cos α}{cos α} } }=[/m]
[m]=\sqrt{\frac{sin α-sin α cos α }{cos α} \cdot \frac{cos α}{sin α+sin α cos α }}=\sqrt{\frac{sin α(1-cos α)}{sin α (1+cos α)} }=\sqrt{\frac{1-cos α}{1+cos α} }=\sqrt{\frac{2sin^2\frac{ α}{2}}{2cos^2\frac{ α}{2}}}=\sqrt{tg^2\frac{ α}{2}}=|tg\frac{ α}{2}| [/m]
так как по определению арифметического квадратного корня [m]\frac{1}{sin α }-ctg α ≥ 0[/m] ⇒
[m]tg\frac{ α}{2} ≥0 [/m], то
[m]|tg\frac{ α}{2}|=tg\frac{ α}{2} [/m]
левая часть равна правой. Тождество доказано
Все решения
