Задача 57296 Написать уравнение прямой, проходящей...

600bf4d9a8b7045a0a52ec47

23.01.2021 13:06:59

Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 0, −1) и
пересекающей две прямые

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.01.2021 13:15:23

★

Данные прямые заданы уравнениями, в которых есть точка принадлежащая прямой и направляющий вектор.


Для первой прямой[m]\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}[/m]:


B(1;-1;0) и [m]\vec{s_{1}}=(1;-1;3)[/m]


Уравнение искомой прямой запишем как уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором [m]\vec{s}=(m;n;p)[/m]

[m]\frac{x-1}{m}=\frac{y-0}{n}=\frac{z-(-1)}{p}[/m]

Условие того, что две прямые принадлежат одной плоскости:

три вектора компланарны. Это вектор, соединяющий точки А и В и оба направляющих вектора.

Значит определитель третьего порядка равен 0:


[m]\begin {vmatrix} 1-1&-1-0&0-(-1)\\1&-1&3\\m&n&p\end {vmatrix}=0[/m] ⇒ [m]\begin {vmatrix} 0&-1&1\\1&-1&3\\m&n&p\end {vmatrix}=0[/m]

[m]-3m+n+m+p=0[/m]

[m]-2m+n+p=0[/m]

[m]p=2m-n[/m]

И для второй прямой

[m]\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{4}[/m]

:С(-1;1;-2) и [m]\vec{s_{2}}=(-1;1;4)[/m]

[m]\begin {vmatrix} -1-1&1-0&-2-(-1)\\-1&1&4\\m&n&p\end {vmatrix}=0[/m] ⇒ [m]\begin {vmatrix} -2&1&-1\\-1&1&4\\m&n&p\end {vmatrix}=0[/m]

[m]-2p+4m+n+m+8n+p=0[/m]

[m]9n+5m=p[/m]


[m]2m-n=9n+5m[/m]

[m]-10n=3m[/m]


[m]m=-\frac{10}{3}n[/m]


[m]p=-\frac{23}{3}n[/m]


Подставляем в искомое уравнение
[m]\frac{x-1}{-\frac{10}{3}n}=\frac{y}{n}=\frac{z+1}{-\frac{23}{3}n}[/m]


и сокращаем на n

[m]\frac{x-1}{-10}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-23}[/m] - О Т В Е Т