Задача 57275 Найти знаменатель бесконечно убывающей...

5f54df62356816184059ff63

22.01.2021 14:35:16

Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 4,а сумма квадратов всех членов равна 18

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.01.2021 15:19:41

★

[m]b_{1}; b_{2}=b_{1}\cdot q ; b_{3}=b_{2}\cdot q =b_{1}\cdot q^2 ...[/m]- геометрическая прогрессия

Если |q|<1 - геометрическая прогрессия бесконечно убывающая

[m]b_{1}+ b_{2}+b_{3} +...=b_{1}+b_{1}\cdot q+b_{1}\cdot q^2+...[/m] сумма геометрической прогрессии


[m]S=\frac{b_{1}}{1-q}[/m] - формула для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии



По условию [m]S=4[/m]

[m]\frac{b_{1}}{1-q}=4[/m] ⇒

[blue] [m]4(1-q)=b_{1}[/m][/blue]


[m]S_{2}=b^2_{1}+ b^2_{2}+b^2_{3} +... =b^2_{1} +(b_{1}\cdot q)^2+(b_{1}\cdot q^2)^2+...[/m] - сумма квадратов геометрической прогрессии


По формуле для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

[m]S_{2}=\frac{b^2_{1}}{1-q^2}[/m]

По условию [m]S_{2}=18[/m]


[m]\frac{b^2_{1}}{1-q^2}=18[/m]



Из системы уравнений:

[m]\left\{\begin {matrix}4(1-q)=b_{1}\\\frac{b^2_{1}}{1-q^2}=18\end {matrix}\right.[/m] ; [m]\left\{\begin {matrix}4(1-q)=b_{1}\\\frac{16(1-q)^2}{1-q^2}=18\end {matrix}\right.[/m]; [m]\left\{\begin {matrix}4(1-q)=b_{1}\\\frac{16(1-q)}{1+q}=18\end {matrix}\right.[/m]

[m]16-16q=18+18q[/m]

[m]q=-\frac{1}{17}[/m]

===================