Задача 57207 ...

5f6a2444b931bd71f10f3620

20.01.2021 13:03:12

В треугольнике ABC AB=c., ∠ A= φ , ∠B= Ψ. Выразите высоту CH этого треугольника через c, φ и Ψ.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.01.2021 14:07:52

★

[m]S_{ Δ ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH[/m] ⇒ [m]CH=\frac{2S_{ Δ ABC}}{AB}[/m]


По теореме синусов:

[m]\frac{AC}{sin ∠B }=\frac{BC}{sin ∠A }=\frac{AB}{sin ∠C }[/m]

Находим

[m]AC=\frac{c\cdot sin ψ }{sin (φ + ψ )}[/m]

[m]BC=\frac{c\cdot sin φ }{sin (φ + ψ )}[/m]


[m]S_{ Δ ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot sin(180 ° -( φ + ψ ))=\frac{AC\cdot BC\cdot sin( φ + ψ )}{2}[/m]

⇒ [m]CH=\frac{2S_{ Δ ABC}}{AB}=\frac{\frac{c\cdot sin ψ }{sin (φ + ψ )}\cdot \frac{c\cdot sin φ }{sin (φ + ψ )}}{c}=\frac{c\cdot sin φ\cdot sin ψ }{sin^2( φ+ ψ) }[/m]