Задача 57192 Дифференциальное уравнение: y'+y cos x =...
Условие
Решение
Решаем однородное:
y'+y*cosx=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=–cosx dx
Интегрируем
∫ dy/y=– ∫cosx dx
ln|y|=–sinx+C1
y=e^(-six+C_(1))
[b]y=C*e^(-sinx)[/b]- решение однородного уравнения
C=e^(C_(1))
Применяем метод вариации произвольной постоянной
[b]y=C(x)·e^(-sinx)[/b] -решение неоднородного уравнения
y`=C`(x)·e^(-sinx)+C(x)·*e^(-sinx))`
y`=C`(x)·e^(-sinx)+C(x)·e^(-sinx)·(–sinx)`
y`=C`(x)·e^(-sinx)+C(x)·e^(-sinx)·(–cosx)
Подставляем в уравнение
C`(x)·e^(-sinx)+C(x)·e^(-sinx)·(–cosx)+C(x)·e^(-sinx)*cosx= sin x* cos x
C`(x)·e^(-sinx)= sin x* cos x
C`(x)=e^(sinx)* sin x* cos x – уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируем
C(x)= ∫ e^(sinx)* sin x* cos x dx[red]=[/red]
интегрируем по частям:
u=sinx ⇒ du=cosxdx
dv=e^(sinx)*cosx ⇒ v= ∫ e^(sinx)d(sinx)=e^(sinx)
[red]=[/red]sinx*e^(sinx)- ∫ e^(sinx)*cosxdx=sinx*e^(sinx)-e^(sinx)+C подставляем в решение неоднородного
О т в е т.
[b]y=(sinx*e^(sinx)-e^(sinx)+C)*e^(-sinx)=Ce^(-sinx)+sinx-1[/b]