Задача 57045 ...
Условие
Решение
[m]f(x)=F`(x)[/m]
[m]f`(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤0\\\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}, 0 < x ≤2\\0, x > 2 \end {matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция f(x) задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция f(x)равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{0 }_{- ∞ }x\cdot 0dx+ ∫ ^{2}_{0}x\cdot \frac{x}{2}dx+∫ ^{+ ∞ }_{2}x\cdot 0dx=∫ ^{2}_{0}x\cdot \frac{x}{2}dx=\frac{x^3}{6}|^{2}_{0}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}[/m]
По формуле:
[m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=[/m]
Считаем
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{2}_{0}\frac{3}{2}x^2\cdot\frac{x}{2}dx=\frac{x^4}{8}|^{2}_{0}=2[/m]
Тогда
[m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=2-(\frac{4}{3})^2=\frac{2}{9}[/m]