Задача 57039 7. Дана функция плотности...
Условие
[m]
\begin{align*}
0, &\; x < 2, \\
f(x) = A(x - 3)^{2}; &\; 2 \le x \le 4, \\
0, &\; x > 4.
\end{align*}
[/m]
Найти A и указать явный вид [m] f(x); M(x); D(x); F(x); P(x < 3); P(x \ge 3); P(2,5; 3,5). [/m]
8. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 25. Вероятность попадания X в интервал (10; 15) равна 0,09. Найти вероятность того, что случайная величина X хотя бы один раз из четырех попадает в интервал (20; 35).
Решение
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫ ^{2 }_{- ∞}0dx+∫ ^{4 }_{2}A(x-3)^2dx+∫ ^{+ ∞ }_{4}0dx=A∫ ^{4 }_{2}(x-3)^2d(x-3)=A\cdot \frac{(x-3)^3}{3}|^{4 }_{2}=A\frac{2}{3}[/m]
[m]A\cdot \frac{2}{3}=1[/m]
[m]A=\frac{3}{2}[/m]
По определению:
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x ≤2[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При 2 < x ≤ 4[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{2}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{2}\frac{3}{2}(x-3)^2dx=\frac{(x-3)^3}{2}[/m]
При x > 4
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{2}_{- ∞ }0dx+∫ ^{4}_{2}\frac{3}{2}(x-3)^2dx+∫ ^{x}_{4}0dx=1[/m]
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤ 2\\\frac{(x-3)^3}{2}, 2 < x ≤4\\1, x > 4 \end {matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{4}_{2}\frac{3}{2}x\cdot (x-3)^2dx=[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
Считаем
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{4}_{2}\frac{3}{2}x^2\cdot (x-3)^2dx=...[/m]
Тогда
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
По формуле:
[m]P( α ≤ x ≤ β )=F( β )-F( α )[/m]
получаем:
[m]P( 2,5 ≤ x ≤3,5 )=F(3,5 )-F(2,5)=\frac{(3,5-3)^3}{2}-\frac{(2,5-3)^3}{2}=...[/m]