Задача 56996 ...

600195fa960c3c35933de605

15.01.2021 16:18:56

Доказать, что lim (3n-2)/(2n-1) = 2/3
n ⇒ infinity

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.01.2021 22:18:58

★

По определению:
[m]lim_{n → ∞ }x_{n}=a[/m] ⇔ [m] ∀ ε >0, ∃ n_{ ε } | ∀ n > n_{ ε } : |x_{n}-a| < ε [/m]

Рассматриваем разность:

[m]|x_{n}-a| =|\frac{3n-2}{2n-1}-\frac{3}{2}|=|\frac{(3n-2)\cdot 2-3\cdot (2n-1)}{2\cdot (2n-1)}|=|\frac{6n-4-6n+3)}{2\cdot (2n-1)}|=|\frac{-1}{2\cdot (2n-1)}|=\frac{1}{4n-2}[/m]

Найдем при каких n

[m]\frac{1}{4n-2} < ε[/m] ⇒ [m]4n-2 > \frac{1}{ ε }[/m] ( применили свойство неравенств: 0<a<b ⇒ 1/a>1/b)

[m]4n>2+ \frac{1}{ ε }[/m]

[m]n> \frac{1}{2}+\frac{1}{ 4ε }[/m]

Полагая ε = [b][[/b][m] \frac{1}{2}+\frac{1}{ 4ε }[/m][b] ][/b] +1 убеждаемся, что определение выполняется.