Задача 56950 Помогите пожалуйста, буду очень...
Условие
Решение
Так как пл ADD_(1) || пл ВСС_(1)
то угол между пл ADD_(1) и BDC_(1) равен углу между пл ВСС_(1) и BDC_(1)
Эти плоскости пересекаются по прямой BC_(1)
Поэтому проводим CK ⊥ BC_(1)
Так как Δ BCC_(1)- прямоугольный равнобедренный
СК=sqrt(2)/2
DC ⊥ пл ВСС_(1) ⇒ DC ⊥СК
Δ CDK - прямоугольный
∠ DCK=90 °
tg∠ DKC=DC/CK=1/sqr(2)/2=sqrt(2)
О т в е т. ∠ DKC=arctg (sqrt(2))
Задача 11
Так как пл ABCD || пл A_(1)В_(1)С_(1)D_(1),
то угол между пл ABCD и А_(1)DC_(1) равен углу между пл A_(1)В_(1)С_(1)D_(1)и А_(1)DC_(1)
Эти плоскости пересекаются по прямой A_(1)C_(1)
Проводим DM ⊥ A_(1)C_(1); DM - высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника А_(1)DC_(1)
B_(1)D_(1) ⊥ A_(1)C_(1) - как диагонали квадрата.
∠ D_(1)MD- линейный угол двугранного угла между пл A_(1)В_(1)С_(1)D_(1)и А_(1)DC_(1)
tg∠ D_(1)MD=DD_(1)/D_(1)M=1/sqrt(2)/2=sqrt(2)
О т в е т. ∠ D_(1)MD=arctg (sqrt(2))
2 СПОСОБ
Лучше всего[b] координатный метод[/b]
Располагаем в системе координат, например так: ( скрин )
7 задача
пл. АВС: z=0
Нормальный вектор vector{n_(1)}=(0;0;1)
ABC_(1):
ax+by+cz+d=0
Подставляем координаты точек:
А(1;0;0)
a*1+0+0+d=0 ⇒ d=-a
B(1;1;0)
a*1+b*1+0+d=0 ⇒ a+b-a=0 ⇒ b=0
C_(1)(0;1;1)
0+b*1+c*1+d=0 ⇒ c=-d
-dx-dz+d=0
x+z-1=0
Нормальный вектор vector{n_(2)}=(1;0;1)
Находим угол между векторами vector{n_(1)}=(0;0;1) и vector{n_(2)}=(1;0;1)
cos φ =(vector{n_(1)}*vector{n_(2)})/|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|=(0*1+0*0+1*1)/1*sqrt(1^2+0^2+1^1)=1/sqrt(2)
φ=45 °
8 задача
пл. BDB_(1) проходит через начало координат
ax+by+cz=0
B(1;1;0)
a*1+b*1+c*0=0 ⇒ a+b=0 ⇒ a=-b
B_(1)(1;1;1)
a*1+b*1+c*1=0 ⇒ a+b+c=0 ⇒ c=0
-bx+by=0
x-y=0
Нормальный вектор vector{n_(1)}=(1;-1;0)
ABC_(1):x+z-1=0 ( см. задачу 7_
Нормальный вектор vector{n_(2)}=(1;0;1)
Находим угол между векторами vector{n_(1)}=(1;-1;0) и vector{n_(2)}=(1;0;1)
cos φ =(vector{n_(1)}*vector{n_(2)})/|vector{n_(1)}|*|vector{n_(2)}|=(1*1+(-1)*0+0*1)/sqrt(1^2+(-1)^2+0^2)*sqrt(1^2+0^2+1^1)=1/2
φ=60 °
Задача 9
пл. АDD_(1)A_(1)
проходит через D(0;0;0) ⇒ d=0
ax+by+cz=0
B(1;1;0)
a+b=0 ⇒ b=-a
D_(1)(0;0;1)
0+0+c*1=0 ⇒ c=0
ax-ay=0
x-y=0 ⇒ Нормальный вектор vector{n_(1)}=(1;-1;0)
длина sqrt(2)
пл. BDC_(1)
проходит через D(0;0;0) ⇒ d=0
ax+by+cz=0
B(1;1;0)
a+b=0 ⇒ a=-b
C_(1)(0;1;1)
b+c=0 ⇒ c=-b
-bx+by-bz=0
x-y+z=0⇒ Нормальный вектор vector{n_(2)}=(1;-1;1)
длина sqrt(3)
cos φ =(1*1+(-1)*(-1)+0*1)/sqrt(2)*sqrt(3)=2/sqrt(2)*sqrt(3)=[b]sqrt(2/3)[/b]
