Задача 56947 Найти площадь фигуры ограниченой...
Условие
Решение
интеграл является несобственным, поэтому запишем его через предел:
[m]\lim_{a\to 4} (\int\limits_0^4 \frac{10x}{(16-x^2)^\frac{3}{4}}dx)[/m]
сделаем замену:
t=16-x^(2)
dt = -2xdx
dx = [m]\frac{dt}{-2x}[/m]
[m]\int\limits_{16}^0 \frac{10x}{t^\frac{3}{4}}*\frac{dt}{-2x} = -\int\limits_{16}^0 \frac{5}{t^\frac{3}{4}}dt = -5\int\limits_{16}^0 \frac{dt}{t^\frac{3}{4}} =-5\int\limits_{16}^0 t^-\frac{3}{4}dt = -5\frac{t^\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = -20t^\frac{1}{4}[/m]
вспоминаем, что t = 16-x^(2)
[m]-20(16-x^2)^\frac{1}{4} = -20\sqrt[4]{16-x^2}[/m]
Вычисляем интеграл:
[m]-20\sqrt[4]{16-a^2}+20\sqrt[4]{16-0^2} = -20\sqrt[4]{16-a^2}+40[/m]
вычисляем предел:
[m]\lim_{a\to 4} (-20\sqrt[4]{16-a^2}+40) = -20\sqrt[4]{16-4^2}+40 = 0 + 40 = 40[/m]
Ответ: 40