Задача 56925 Помогите решить примеры, пожалуйста ...
Условие
Решение
y''+8y'+16y=16x^2-16x+66
Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''+8y'+16y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+8k+16=0
D=0
k_(1)= k_(2)=-4 - корни действительные, кратные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)*e^(-4x)+C_(2)*x*e^(-4x) - общее решение [i] однородного [/i]уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=Аx^2+Bx+D
y`_(частное неодн) =2Ax+B
y``_(частное неодн)=2A
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
(2A)+8*(2Ax+B)+16*(Аx^2+Bx+D )=16x^2-16x+66
два многочлена равны, если равны их степени
и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной
[b] 16А[/b]x^2+[green](16A+16B)[/green]x+[red](2A+8B+16D )[/red]=[b]16[/b]x^2[green]-16[/green]x+[red]66[/red]
16А=16
16A+16B=-16
2A+8B+16D=66
A=1
B=-2
D=5
Так как
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,
то
y_(общее неодн)=C_(1)*e^(-4x)+C_(2)*x*e^(-4x) +x^2-2x+5
Решение задачи Коши : y(0)=3; y`(0)=0
найти C_(1) и С_(2)
y=C_(1)*e^(-4x)+C_(2)*x*e^(-4x) +x^2-2x+5
y(0)=3 ⇒
y(0)=C_(1)*e^(0)+C_(2)*0*e^(0) +0^2-2*0+5 ⇒ 3=C_(1)+5 ⇒ [b]C_(1)=-2[/b]
y`=-4C_(1)*e^(-4x)+C_(2)*e^(-4x) -4C_(2)*x*e^(-4x)+2x-2
y`(0)=0 ⇒ y`(0)=-4C_(1)*e^(0)+C_(2)*e^(0) -4C_(2)0*e^(0)+2*0^2-2 ⇒ 0=-4*(-2)+С_(2)-2 ⇒ [b]С_(2)=-6[/b]
y_(задачи Коши)=-2*e^(-4x)-6*x*e^(-4x) +x^2-2x+5
3.
y```+3y``+2y`=cosx
Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение ТРЕТЬЕГО порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение ТРЕТЬЕГО порядка с постоянными коэффициентами:
y```+3y``+2y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^3+3k^2+2k=0
k*(k^2+3k+2)=0
k_(1)=0; k_(2)=-2; k_(3)=-1 - корни действительные различные
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)*e^(0*x)+C_(2)*e^(-2x)+C_(3)e^(-x) - общее решение [i] однородного [/i]уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=Аcosx+Bsinx
y`_(частное неодн) =A*(-sinx)+B*cosx
y``_(частное неодн)=-A*cosx-B*sinx
y```_(частное неодн)=-A*(-sinx)-B*cosx
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
(A*sinx-B*cosx)+3*(-A*cosx-B*sinx)+2*(-A*sinx+B*cosx)=cosx
(-A-3B)*sinx+(B-3A)*cosx=cosx
-A-3B=0 ⇒ A=-3B
B-3A=1 ⇒ B-3*(-3B)=1
10B=1
B=0,1
A=-0,3
О т в е т. y_(общее одн)=C_(1)*e^(0*x)+C_(2)*e^(-2x)+C_(3)e^(-x)-0,3cosx+0,1sinx
Нужно решение других уравнений - задавайте каждый вопрос отдельно