Задача 56892 Помогите с решением...
Условие
Решение
[m]V_{Ox}=π ∫ ^{3}_{0}(x^2)^2dx=π ∫ ^{3}_{0}x^4dx=π\frac{x^5}{5}|^{3}_{0}=π\frac{3^5}{5}=π\frac{243}{5}[/m]
16
[m]y=e^{x}[/m]
[m]y`=e^{x}[/m]
[m]L= ∫ ^{1}_{0}\sqrt{1+(e^{x})^2}dx=∫ ^{1}_{0}\sqrt{1+e^{2x}}dx=[/m]
Замена переменной:
[m]\sqrt{1+e^{2x}}=t[/m] ⇒ [m]1+e^{2x}=t^2[/m] ⇒[m] e^{2x}=t^2-1[/m] ⇒
[m]2x=ln(t^2-1)[/m]
[m]x=\frac{1}{2}ln(t^2-1)
[m]dx=\frac{2t}{2(t^2-1)}dt[/m]
[m]x=0 ⇒ t^2=2 ⇒ t=\sqrt{2}[/m]
[m]x=1 ⇒ t^2=1+e^2 ⇒ t=\sqrt{1+e^2}[/m]
[m]L=∫ ^{1}_{0}\sqrt{1+e^{2x}}dx= ∫^{\sqrt{1+e^2}}_{\sqrt{2}} \frac{t^2-1+1}{t^2-1}dt=∫^{\sqrt{1+e^2}}_{\sqrt{2}} t\cdot \frac{t}{t^2-1}dt[/m]
[m]= (t- \frac{1}{2}ln\frac{t-1}{t+1})|^{\sqrt{1+e^2}}_{\sqrt{2}}=...[/m]
Можно считать по-другому, через обратную функцию:
[m]y=e^{x}[/m] ⇒ [m]x=lny[/m] ⇒ [m]x`=\frac{1}{y}[/m]
[m]x=0 ⇒ y=e^{0}=1 [/m]
[m]x=1 ⇒ y=e^{1}=e[/m]
[m]L=∫ ^{e}_{1}\sqrt{1+(\frac{1}{y})^2}dy=∫ ^{e}_{1}\sqrt{\frac{y^2+1}{y^2}}dy=[/m]
Подстановка
[m]y=tgz[/m]