Задача 56879 решить логарифмическое уравнение...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x>0\\x ≠ 1\\
log_{x}\sqrt{2x}>0\end {matrix}\right.[/m]
⇒ [m]log_{x}\sqrt{2x}>log_{x}1[/m] ⇒ [m] (x-1)\cdot (\sqrt{2x}-1)>0[/m] ⇒[m] 0 < x < \frac{1}{2}; x > 1[/m]
ОДЗ: [m] 0 < x < \frac{1}{2}; x > 1[/m]
[m]\sqrt{log_{x}\sqrt{2x}}\cdot log_{4}x=-1[/m]
Переходим к основанию 2:
[m]\sqrt{\frac{log_{2}\sqrt{2x}}{log_{2}x}}\cdot log_{2^2}x=-1[/m]
Применяем свойства логарифма:
[m]\sqrt{\frac{log_{2}\sqrt{2x}}{log_{2}x}}\cdot\frac{1}{2} log_{2}x=-1[/m]
[m]\sqrt{\frac{log_{2}\sqrt{2}+log_{2}\sqrt{x}}{log_{2}x}}\cdot log_{2}x=-2[/m]
[m]\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\cdot (1+log_{2}x)}{log_{2}x}}\cdot log_{2}x=-2[/m]
Замена переменной:
[m]log_{2}x=t[/m] и [m] t ≠ [/m]0, так как [m]x ≠ 1[/m]
[m]\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\cdot (1+t)}{t}}\cdot t=-2[/m] - иррациональное уравнение.
[m]\sqrt{\frac{1+t}{2t}}=-\frac{2}{t}[/m]
если [m]-\frac{2}{t}>0[/m] , возводим в квадрат и решаем систему:
[m]\left\{\begin {matrix}-\frac{2}{t}>0\Rightarrow t <0\\\frac{1+t}{2t}=\frac{4}{t^2}\rightarrow t^2+t-8=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]D=1-4\cdot (-8)=33[/m]
[m]t_{1}=\frac{-1-\sqrt{33}}{2}[/m] или [m]t_{1}=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}[/m] ( не удовл. первому уравнению системы)
[m]log_{2}x=\frac{-1-\sqrt{33}}{2}[/m] ⇒ [m] x=2^{\frac{-1-\sqrt{33}}{2}}[/m] ∈[m] (0;\frac{1}{2})[/m] , т. е входит в ОДЗ