Задача 56842 Вычислить пределы...
Условие
Решение
Неопределенность
Умножаем и числитель и знаменатель на
[m](\sqrt{x^{2}+4}+2x)[/m]
[m]=\lim_{x \to ∞ }\frac{\sqrt{x^{2}+4}-2x)(\sqrt{x^{2}+4}+2x)}{\sqrt{x^{2}+4}+2x}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
[m]=\lim_{x \to ∞ }\frac{(\sqrt{x^{2}+4})^2-(2x)^2)}{\sqrt{x^{2}+4}+2x}=\lim_{x \to ∞ }\frac{x^{2}+4-(2x)^2)}{\sqrt{x^{2}+4}+2x}=\lim_{x \to ∞ }\frac{4-3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4}+2x}=\frac{ ∞ }{ ∞ }[/m]
Упростим ( достаточно сократить на х):
[m]=\lim_{x \to ∞ }\frac{x\cdot (\frac{4}{x}-3x)}{x\cdot (\sqrt{1+\frac{4}{x^{2}}}+2)}=\lim_{x \to ∞ }\frac{(\frac{4}{x}-3x)}{ \sqrt{1+\frac{4}{x^{2}}}+2}=\frac{0- ∞ }{\sqrt{1+0}+2}=\mp ∞ [/m]
при x → + ∞ получаем (- ∞ ) при х → - ∞ получаем (+ ∞ )
можно просто написать в ответе ∞