Задача 56831 вычислить предел ...
Условие
Решение
Умножаем и числитель и знаменатель на
[m](\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})[/m]
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{3}+1})(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})}{(x^2-1)(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})}=[/m]
Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x^{2}+1})^2-(\sqrt{x^{3}+1})^2}{(x^2-1)(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})}=\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+1-x^{3}-1}{(x^2-1)(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})}=\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-x^{3}}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})}[/m]
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}(1-x)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})}[/m]
Сокращаем на (x-1)
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{(-x^{2})}{(x+1)(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{3}+1})}=\frac{( -1)}{ (1+1)(\sqrt{1^{2}+1}+\sqrt{1^{3}+1}) } =-\frac{1}{ 2\sqrt{2} } [/m]