Задача 56805 Решить краевую задачу y''-y=2ch(x)...
Условие
Решение
Решаем однородное:
y``-y=0
Составляем характеристическое
k^2-1=0
k_(1)=-1;k_(2)= 1 - действительные различные корни
y=C_(1)*e^(-x)+C_(2)*e^(x)
Применяем метод вариации произвольных постоянных
y=C_(1)(x)*e^(-x)+C_(2)(x)*e^(x)
С_(1) и С_(2) находим из системы уравнений:
{C`_(1)(x)e^(-x)+C`_(2)(x)*e^(x)=0
{C`_(1)(x)(e^(-x))`+C`_(2)(x)*(e^(x))`=2chx
{C`_(1)(x)e^(-x)+C`_(2)(x)*e^(x)=0
{-C`_(1)(x)e^(-x)+C`_(2)(x)*e^(x)=2chx
складываем:
2C`_(2)*e^(x)=2chx
С`_(2)(x)=e^(-x)*chx
сhx=(e^(x)+e^(-x))/2
С`_(2)(x)=e^(-x)*chx=(1/2)+(1/2)(e^(-x))^2=(1/2)+(1/2)e^(-2x)
Подставляем в первое уравнение системы и находим C`_(1)(x):
C`_(1)(x)e^(-x)+[b]([/b](1/2)+(1/2)e^(-2x)[b])[/b]*e^(x)=0 ⇒
C`_(1)(x)=-(1/2)e^(2x)-(1/2)
Интегрируем и находим C_(1)(x) и С_(2)(x)
C_(1)(x)= ∫[b]([/b]-(1/2)e^(2x)-(1/2)[b])[/b]dx=[blue]-(1/4)e^(2x)-(1/2)x+C_(1)[/blue]
C_(2)(x)= ∫[b]([/b](1/2)+(1/2)e^(-2x)[b])[/b]dx=(1/2)x-(1/4)e^(-2x)+C_(2)
y=C_(1)(x)*e^(-x)+C_(2)(x)*e^(x)=[blue](-(1/4)e^(2x)-(1/2)x+C_(1))[/blue]*e^(-x)+((1/2)x-(1/4)e^(-2x)+C_(2))*e^(x)- общее решение.
Чтобы найти решение задачи Коши, подставляем данные :y'(0)=0 y(1)=0
x=0
y`=0
y=0
находим C_(1) и С_(2)
y(0)=[blue](-(1/4)e^(0)-(1/2)*0+C_(1))[/blue]*e^(-0)+((1/2)*0-(1/4)e^(0)+C_(2))*e^(0)
0=[blue](-(1/4)e^(0)-(1/2)*0+C_(1))[/blue]*e^(-0)+((1/2)*0-(1/4)e^(0)+C_(2))*e^(0) (#)
y`=[red]([/red][blue](-(1/4)e^(2x)-(1/2)x+C_(1))[/blue]*e^(-x)+((1/2)x-(1/4)e^(-2x)+C_(2))*e^(x)[red])[/red]`
y`(0)=...
0= (##)
Решаем систему
{(#)
{(##)
