Задача 56780 Исследовать на непрерывность и...
Условие
Решение
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=x-1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (0;1) функция непрерывна, так как y=x^2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=1
Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(x-1)=-1
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)x^2=0
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=0
х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]
Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)x^2=1
Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)1=1
х=1 - [i]точка непрерывности [/i]
предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке 1
f(1)=1
2)
x ≠ ± 4
При x ≠ ± 4 данная функция непрерывна как частное непрерывных функций.
Исследуем на непрерывность точку х=-4
Находим предел слева:
lim_(x →-4-0)f(x)=(-2-0)^2/(-2-0+2)=- ∞ , так как
положительное число в числителе делится на очень маленькое в знаменателе.
Получим очень большое отрицательное (- ∞ )
Находим предел справа:
lim_(x →4+0)f(x)=(-2+0)^2/(-2+0+2)=+ ∞
Функция имеет [i]бесконечный[/i] предел в точке ( хотя бы один или слева или справа, а здесь вообще оба)
Значит х=-4 - точка разрыва [i]второго [/i]рода
Аналогично
x=4 - - точка разрыва [i]второго [/i]рода
