Задача 56746 Вычислить момент инерции относительно Ox...
Условие
Решение
z^2=R^2-x^2-y^2
Дифференцируем обе части равенства по переменной х:
2z*z`_(x)=-2x ⇒ z`_(x)=(-x/z)
Дифференцируем обе части равенства по переменной х:
2z*z`_(y)=-2y ⇒ z`_(y)=(-y/z)
⇒
[m]\sqrt(1+(z`_{x})^2+(z`_{y})^2)=sqrt(1+(-\frac{x}{z})^2+(-\frac{y}{z})^2)=\sqrt{\frac{z^2+x^2+y^2}{z^2}}=\frac{R}{|z|}[/m]
Значит, надо вычислить двойной интеграл:
[m]J_{(Ox)}= ∫∫ _{S_{(xoy)}}(x^2+z^2)\cdot \frac{R}{|z|}dxdy=∫∫ _{S_{(xoy)}}(x^2+R^2-x^2-y^2)\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dxdy=[/m]
[m]= ∫ ^{R}_{0}( ∫ ^{\sqrt{R^2-x^2}}_{-\sqrt{R^2-x^2}}(R^2-y^2)\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dy)dx=[/m]
[m]= R∫ ^{R}_{0}( ∫ ^{\sqrt{R^2-x^2}}_{-\sqrt{R^2-x^2}}(\frac{R^2-y^2}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dy)dx=[/m]
