Задача 56731 dx/dt=2x-y, dy/dt=x+2y решить систему...

5ff35d54960c3c35933d9bc0

04.01.2021 21:30:35

dx/dt=2x-y, dy/dt=x+2y решить систему дифференциальных уравнений

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.01.2021 22:38:48

★

{x`(t)=2x-y
{y`(t)=x+2y ⇒ x=y`-2y

x`=(y`-2y)`=y``-2y`

Подставляем в первое

y``-2y`=2x-y

y``-2y`+y=2x - линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``-2y`+y=0

Составляем характеристическое:

k^2-2k+1=0
k_(1)=k_(2)=1

y_(общее однород)=C_(1)e^(t)+C_(2)*t*e^(t)

y_(частное)=Аt+В

y`=A

y``=0

0-2*A+At+B=2t

A=2

B-2A=0

B=2A=4
y_(частное)=[b]2t+4[/b]


y_(общее неодн)=C_(1)e^(t)+C_(2)*t*e^(t)+[b]2t+4[/b]

x=y`-2y=C_(1)e^(t)+C_(2)e^(t)+C_(2)t*e^(t)+2-2C_(1)e^(t)-2C_(2)*t*e^(t)-4t-8=(C_(2)-C_(1)-tC_(2))*e^(t)-4t-6

cм. аналогичные задачи:
https://reshimvse.com/zadacha.php?id=55416