Задача 56715 Провести полное исследование указанных...
Условие
Решение
x^2-x+1 ≠ 0
D=(-1)^2-4 <0
Область определения D(y)=(-бесконечность;+ бесконечность)
y`=((x^3)`*(x^2-x+1)-x^3*(x^2-x+1)`)/(x^2-x+1)^2
y`=(3x^4-3x^3+3x^2-2x^4+x^3)/(x^2-x+1)^2
y`=(x^4-2x^3+3x^2)/(x^2-x+1)^2
y`=0
x^4-2x^3+3x^2=0
x^2*(x^2-2x+3)=0
x^2=0;
Знак производной:
___+____ (0) __+__
Функция возрастает при любых х
Точек экстремума нет.
y``=[b]([/b](x^4-2x^3+2x^2)`*(x^2-x+1)^2-(x^4-2x^3+x^2)*((x^2-x+1)^2)`[b])[/b]/(x^2-x+1)^4
y``=[b]([/b](4x^3-6x^2+4x)*(x^2-x+1)-(x^4-2x^3+x^2)*2*(2x-1)[b])[/b]//(x^2-x+1)^3
y``=[b]([/b]-x*(4x^4-10x^3+4x^2-2x+4)[b])[/b]//(x^2-x+1)^3
y``=0
x=0; x=1 - точки перегиба.
При x=1 4*1^4-10*1^3+4*1^2-2*1+4=0
на (- ∞ ;1) y``<0 ⇒ функция выпукла вверх на (- ∞ ;0)
на (1;2) y`` >0 ⇒ функция выпукла вниз на (0 ;2)
на (1;+ ∞ ) y``<0 ⇒ функция выпукла вверх на (2;+ ∞ )
2)
Область определения D(y)=(-бесконечность;+ бесконечность)
y`=(x)`·e^(x)+(x)·(e^(x))`=1·e^(x)+(x)·e^(x)=e^(x)·(x+1)
y`=0
x+1=0
x=-1
Знак производной
__–__ (-1) ____ +
y`< 0 на (– ∞ ; –1), функция убывает
y` >0 на (–1; + ∞), функция возрастает
х= - 1 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
y(-1)=(-1)e^(-1)=-1/e
y``=(x+1)`*e^(x)+(x+1)*(e^(x))`=e^(x)+(x+1)*e^(x)=e^(x)*(x+2)
y``=0
x+2=0
x=-2 - точка перегиба
на (- ∞ ;-2) y``<0 ⇒ функция выпукла вверх на (- ∞ ;-2)
на (-2;+ ∞ ) y``>0 ⇒ функция выпукла вниз на (-2;+ ∞ )
