Задача 56708 Найти y' и y'' 1)xy=ctg(y) Найти y' и...

5ff1ae27960c3c35933d939b

03.01.2021 14:51:31

Найти y' и y''
1)xy=ctg(y)
Найти y' и y''
2)Система:{x=(ln(t))/t
{y=t*ln(t)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

03.01.2021 15:07:36

★

1)
xy=ctgy
Дифференцируем обе части равенства:
(xy)`=(ctgy)`
При этом применяем все правила и формулы, учитываем, что х - независимая переменная,
а y- зависимая, и потому дифференцируем как сложную функцию

x`*y+x*y`=(-1/sin^2y)*y`
y+xy`=-y`/sin^2y

Переносим слагаемые с y` влево:

(x+ (1/sin^2y))*y`=-y

y`=-y/(x+(1/sin^2y))

y`=(-y*sin^2y)/(x*sin^2y+1)

Дифференцируем еще раз:
(x+ (1/sin^2y))`*y`+(x+ (1/sin^2y))*y``=-y`

(1-(2cosy*y`/sin^3y))*y`+(x+ (1/sin^2y))*y``=-y`

y``=((2cosy*y`/sin^3y)-2)*y`

где y`=(-y*sin^2y)/(x*sin^2y+1)




2)
{x(t)=(lnt)/t
{y=t·lnt

{x`(t)=((lnt)`*t-lnt*(t`))/t^2
{y`(t)=t`*lnt+t*(lnt)`

⇒

{x`(t)=((1/t)*t-lnt)/t^2
{y`(t)=lnt+t*(1/t)

{x`(t)=(1-lnt)/t^2
{y`(t)=lnt+1


y`_(x)=y`(t)/x`(t)=[b](lnt+1)t^2/(1-lnt)[/b]


y``(t)=(lnt+1)`=1/t


y``_(xx)=y``(t)/x`(t)=(1/t)/((1-lnt)/t^2)=t/(1-lnt)