Задача 56593 ...
Условие
Решение
Находим частные производные первого порядка:
z`_(x)=3x^2+y^2+6y
z`_(y)=2xy+6x
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
Решаем систему двух уравнений:
{3x^2+y^2+6y=0
{2xy+6x=0
{3x^2+y^2+6y=0
{2x*(y+3)=0
{3*0^2+y^2+6y=0 ⇒ y=0 или y=-6
{[b] x=0[/b]
или
{y+3=0 ⇒[blue][b] y=-3[/b][/blue]
{3x^2+(-3)^2+6*(-3)=0 ⇒ 3x^2-9=0 ⇒ x=[blue][b] ± sqrt(3)[/b][/blue]
Получено 4 точки
M_(1)(0;0)
M_(2)(0;-6)
[blue][b]M_(3)(-sqrt(3);-3)
M_(4)(sqrt(3);-3)[/b][/blue]
Исследуем их на экстремум с помощью теоремы ( достаточное условие экстремума) ( см. скрин)
Находим
z``_(xx)=(z`_(x))`_(x)=(3x^2+y^2+6y)`_(x)=6x
z``_(xy)=(z`_(x))`_(y)=(3x^2+y^2+6y)`_(y)=2y+6
z``_(yy)=(2xy+6x)`_(y)=2x
Находим значения в точках:
1)М_(1)(0;0)
z``_(xx)(M_(1))=6*0=0
z``_(xy)(M_(1))=2*0+6=6
z``_(yy)(M_(1))=2*0=0
Δ=z``_(xx)(M_(1))*z``_(yy)(M_(1))-(z``_(xy)(M_(1)))^2=0-36<0 ⇒ нет экстремума в точке M_(1).
2)M_(2)(0;-6)
z``_(xx)(M_(2))=6*0=0
z``_(xy)(M_(2))=2*(-6)+6=-6
z``_(yy)(M_(2))=2*0=0
Δ=z``_(xx)(M_(2))*z``_(yy)(M_(2))-(z``_(xy)(M_(2)))^2=0-(-6)*(-6)<0 ⇒нет экстремума в точке M_(2).
3)]M_(3)(-sqrt(3);-3)
z``_(xx)(M_(3))=6*(-sqrt(3))=-6 sqrt(3)
z``_(xy)(M_(3))=2*(-3)+6=0
z``_(yy)(M_(3))=2*(-sqrt(3))=-2sqrt(3)
Δ=z``_(xx)(M_(2))*z``_(yy)(M_(2))-(z``_(xy)(M_(2)))^2=(-6sqrt(3))(-2sqrt(3))-0>0 ⇒ экстремум в точке M_(3).
Максимум, так как z``_(xx)(M_(2))=-6 sqrt(3)<0
4)M_(4)(sqrt(3);-3)
z``_(xx)(M_(4))=6*(sqrt(3))=6 sqrt(3)
z``_(xy)(M_(4))=2*(-3)+6=0
z``_(yy)(M_(4))=2*(sqrt(3))=2sqrt(3)
Δ=z``_(xx)(M_(4))*z``_(yy)(M_(4))-(z``_(xy)(M_(4)))^2=(6sqrt(3))*(2sqrt(3))-0>0 ⇒ экстремум в точке M_(4).
Минимум, так как z``_(xx)(M_(1))=6 sqrt(3) >0
О т в е т. M_(4)(sqrt(3);-3) - точка минимума; M_(3)(-sqrt(3);-3) - точка максимума.
11.
∫ ^(2)_(0)[blue][b]( ∫ ^(1)_(-2)(3x^2+4y)dy)[/b][/blue]dx=∫ ^(2)_(0)[blue][b](3x^2y+(4y^2/2))|^(1)_(-2)[/b][/blue]dx=
=∫ ^(2)_(0)[blue][b](3x^2*(1-(-2))+(4(1)^2/2)-(4*(-2)^2/2))[/b][/blue]dx=
=∫ ^(2)_(0)[blue][b]((9x^2)-6)[/b][/blue]dx=(9*(x^3/2)-6x)|^(2)_(0)=(9/2)*2^3-6*(2-0)=[b]36-12=24[/b]