Задача 56589 ...
Условие
Решение
z`_(x)=6x^2+y^2+10x
z`_(y)=2xy+2y
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
Решаем систему двух уравнений:
{6x^2+y^2+10x=0
{2xy+2y=0
{6x^2+y^2+10x=0
{2y*(x+1)=0
{[b]y=0 [/b]
{6x^2+0^2+10x=0 ⇒[b] x=0[/b] или [b]x=-5/3[/b]
или
{x+1=0 ⇒[blue][b] х=-1[/b][/blue]
{6*(-1)^2+y^2+10*(-1) ⇒ y^2=4 ⇒ y=[blue][b] ± 2[/b][/blue]
Получено 4 точки
M_(1)(0;0)
M_(2)(-5/3;0)
[blue][b]M_(3)(-1;2)
M_(4)(-1;-2)[/b][/blue]
Исследуем их на экстремум с помощью теоремы ( достаточное условие экстремума) ( см. скрин)
Находим
z``_(xx)=(z`_(x))`_(x)=(6x^2+y^2+10x)`_(x)=12x+10
z``_(xy)=(z`_(x))`_(y)=(6x^2+y^2+10x)`_(y)=2y
z``_(yy)=(2xy+2y)`_(y)=2x+2
Находим значения в точках:
1)М_(1)(0;0)
z``_(xx)(M_(1))=12*0+10=10
z``_(xy)(M_(1))=2*0=0
z``_(yy)(M_(1))=2*0+2
Δ=z``_(xx)(M_(1))*z``_(yy)(M_(1))-(z``_(xy)(M_(1)))^2=10*2-0>0 ⇒ экстремум в точке M_(1).
Минимум, так как z``_(xx)(M_(1))=10 >0
2)M_(2)(-5/3;0)
z``_(xx)(M_(2))=12*(-5/3)+10=-10
z``_(xy)(M_(2))=2*0=0
z``_(yy)(M_(2))=2*(-5/3)+2=-4/3
Δ=z``_(xx)(M_(2))*z``_(yy)(M_(2))-(z``_(xy)(M_(2)))^2=(-10)*(-4/3)-0>0 ⇒ экстремум в точке M_(2).
Максимум, так как z``_(xx)(M_(2))=-10 <0
3)M_(3)(-1;2)
z``_(xx)(M_(3))=12*(-1)+10=-2
z``_(xy)(M_(3))=2*2=4
z``_(yy)(M_(3))=2*(-1)+2=0
Δ=z``_(xx)(M_(2))*z``_(yy)(M_(2))-(z``_(xy)(M_(2)))^2=(-2)*0-4*4<0 ⇒ нет экстремума в точке M_(3).
4)M_(4)(-1;-2)
z``_(xx)(M_(4))=12*(-1)+10=-2
z``_(xy)(M_(4))=2*(-2)=-4
z``_(yy)(M_(4))=2*(-1)+2=0
Δ=z``_(xx)(M_(4))*z``_(yy)(M_(4))-(z``_(xy)(M_(4)))^2=(-2)*0-(-4)*(-4)<0 ⇒ нет экстремума в точке M_(3).
О т в е т. M_(1)(0;0) - точка минимума; M_(2)(-5/3;0) - точка максимума.
