Задача 56568 Помогите прошу...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x>0\\3-x>0\\x ≠1\\log_{x}\sqrt{3-x}>0 \end {matrix}\right.[/m]
[m]0=log_{\frac{1}{3}}\log_{x}\sqrt{3-x}[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]log_{\frac{1}{3}}log_{x}\sqrt{3-x}>log_{\frac{1}{3}}1[/m]
Логарифмическая функция с основанием [m]0<\frac{1}{3}<1[/m] убывающая ⇒
[m]log_{x}\sqrt{3-x}<1[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x>0\\3-x>0\\x ≠1\\log_{x}\sqrt{3-x}>0\\log_{x}\sqrt{3-x}<1 \end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}0 < x < 1; 1 < x < 3\\log_{x}\sqrt{3-x}>log_{x}1 \\log_{x}\sqrt{3-x}<log_{x}x\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}0 < x < 1 ⇒ лог. функция. убывает\\\sqrt{3-x}<1 \\\sqrt{3-x}>x\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}1 < x < 3⇒ лог. функция. возрастает \\\sqrt{3-x}>1 \\\sqrt{3-x}<x\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}0 < x < 1 ⇒ лог. функция. убывает\\\sqrt{3-x}-1<0 \\\sqrt{3-x}-x>0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}1 < x < 3⇒ лог. функция. возрастает \\\sqrt{3-x}-1>0 \\\sqrt{3-x}-x<0\end {matrix}\right.[/m]
Множители разных знаков, значит их произведение отрицательно.
Поэтому второе неравенство в системах одно и то же
[m]\left\{\begin {matrix}0 < x < 1 \\(\sqrt{3-x}-1)\cdot (\sqrt{3-x}-x) <0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}1 < x < 3 \\(\sqrt{3-x}-1)\cdot (\sqrt{3-x}-x) <0\end {matrix}\right.[/m]