Задача 56560 Найти предел....
Условие
Решение
б)Имеем неопределенность ( ∞ - ∞ )
Умножаем и делим [m](\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}) [/m]
[m]=lim_{n→ ∞ }\frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2})\cdot (\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}=lim_{n→ ∞ }\frac{(\sqrt{n+2})^2-(\sqrt{n-2})^2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}=[/m]
[m]=lim_{n→ ∞ }\frac{n+2-n+2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}=lim_{n→ ∞ }\frac{4}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}=0[/m]
в)
[m]lim_{n→ ∞ }sqrt{n}\cdot(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=[/m]неопределенность ( ∞ - ∞ )
Умножаем и делим [m](\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}) [/m]
[m]=lim_{n→ ∞ }\sqrt{n}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=lim_{n→ ∞ }\sqrt{n}\frac{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n-1})^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=[/m]
[m]=lim_{n→ ∞ }\sqrt{n}\frac{n+1-n+1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=lim_{n→ ∞ }\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-2}}=[/m]
неопределенность ( ∞ / ∞ )
делим и числитель и знаменатель на [m]\sqrt{n}[/m]
[m]=lim_{n→ ∞ }\frac{2}{\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}}}=lim_{n→ ∞ }\frac{2}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}+\sqrt{\frac{n-1}{n}}}
=lim_{n→ ∞ }\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}=\frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=1[/m]