Задача 56558 Решить с помощью правила Лопиталя...
Условие
Решение
[m]x-1=t[/m]
[m]x=t+1[/m]
[m]x → 1[/m] ⇒ [m]t → 0[/m]
[m]2-x=2-(t+1)=2-t-1=1-t[/m]
[m]tg\frac{πx}{2}=tg\frac{π(t+1)}{2}=tg(\frac{π}{2}t+\frac{π}{2})=-ctg\frac{π}{2}t[/m]
[m]lim_{x → 1}(2-x)^{tg\frac{πx}{2}}=lim_{t → 0}(1-t)^{-сtg\frac{π}{2}t}[/m]
Обозначим
[m]y=(1-t)^{-сtg\frac{π}{2}t}[/m]
Логарифмируем:
[m]lny=ln(1-t)^{-сtg\frac{π}{2}t}[/m]
Применяем свойства логарифма степени:
[m]lny=(-сtg\frac{π}{2}t)\cdot (ln(1-t))[/m]
Найдём
[m]lim_{t → 0}lny=lim_{t → 0}(-сtg\frac{π}{2}t)\cdot (ln(1-t))[/m]
[m]lim_{t → 0}(-сtg\frac{π}{2}t)\cdot (ln(1-t))=-lim_{t → 0}\frac{(ln(1-t))\cdot (sin\frac{π}{2}t)}{cos\frac{π}{2}t}[/m]=
неопределенность (0/0)
применяем правило Лопиталя:
[m]=-lim_{t → 0}\frac{((ln(1-t))\cdot (sin\frac{π}{2}t))`}{(cos\frac{π}{2}t)`}[/m]=...