Задача 56489 Помогите решить, наполовину решил ...
Условие
Решение
g(x)=3x^3+2x^2+81x+6
ее производная
g`(x)=9x^2+4x+81 >0 так как D=4-4*9*81 <0
Значит g(x) возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )
и потому уравнение
3x^2+2x^2+81x+6=0
имеет один корень
Рациональнее считать производную так:
Можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель:
[m]y=-x+\frac{9x+2}{9-x^2}[/m]
[m]y`=-1+\frac{9\cdot (9-x^2)-(9x+2)\cdot (-2x)}{(9-x^2)^2}[/m] ⇒
[m]y`=-1+\frac{81-9x^2+18x^2+4x}{(9-x^2)^2}[/m] ⇒
[m]y`=-1+\frac{9x^2+4x+81}{(9-x^2)^2}[/m]
[m]y``=0+\frac{(18x+4)\cdot (9-x^2)^2-(9x^2+4x+81)\cdot 2\cdot (9-x^2)\cdot (-2x)}{(9-x^2)^4}[/m]
[m]y``=\frac{(18x+4)\cdot (9-x^2)+4x\cdot (9x^2+4x+81)}{(9-x^2)^3}[/m]
[m]y``=\frac{162x+36-18x^3-4x^2+36x^3+16x^2+324x}{(9-x^2)^3}[/m]
[m]y``=\frac{18x^3+12x^2+486x+36}{(9-x^2)^3}[/m]
[m]y``=0[/m] ⇒
[m]18x^3+12x^2+486x+36=0[/m]
[m]3x^3+2x^2+81x+6=0[/m]
Пусть
g(x)=3x^3+2x^2+81x+6
ее производная
g`(x)=9x^2+4x+81 >0 так как D=4-4*9*81 <0
Значит g(x) возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )
и потому уравнение
3x^2+2x^2+81x+6=0
имеет один корень
Этот корень принадлежит интервалу (-1;0)
Обозначим его t
t <0
3x^3+2x^2+81x+6=3*(x+t)*(x^2+px+q) причем квадратный трехчлен x^2+px+q не раскладывается на линейные множители
D=p^2-4q <0 ⇒
p^2<4q
Раскрываем скобки справа
[b]3x^3[/b]+2x^2+81x+6=[b]3x^3[/b]+3tx^2+3px^2+3ptx+3xq+3tq
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
[green]2[/green]x^2+[red]81[/red]x+[b]6[/b]=([green]3t+3p[/green])x^2+([red]3pt+3q[/red])x+[b]3tq[/b]
3t+3p=2 ⇒ t+p=2/3
3pt+3q=81 ⇒ pt+q=27
3tq=6 ⇒ tq=2
О т в е т.
(- ∞ ;-3) - выпуклость вниз.
(-3;t) вып. вверх
(t;3) вып вниз
(3;+ ∞ ) вып вверх
Знак второй производной:
__+___ (-3) ___-___ (t) ____+___ (3) ____-____