Задача 56361 Помогите...
Условие
Решение
Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
y``-6y`+25=0
Составляем характеристическое уравнение:
λ ^2- 6λ +25=0
D=36-100=-64
λ _(1)=3-4i или λ_(2)=3+4i
Характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, значит
общее решение уравнения имеет вид ( см скрин):
y_(одн)=e^(αx)*(C_(1)*cosβx+C_(2)*sinβx)
Подставляем
α =3
β =4
[b]y_(одн)=e^(3x)*(C_(1)*cos4x+C_(2)*sin4x)[/b] - общее решение однородного уравнения
Правая часть f(x)=-24cos4x+9sin4x - "специального" вида
Поэтому частное решение ищем в виде идентичном этой правой части с некоторыми правилами:
y_(част)=Asin4x+Bcos4x- Чаcтное решение
y`_(част)=4Acos4x-4Bsin4x
y``_(част)=-16Asin4x-16Bcos4x
подставляем в данное уравнение:
-16Asin4x-16Bcos4x-6*(4Acos4x-4Bsin4x)+25*Asin4x+Bcos4x)=-24cos4x+9sin4x
(...)*cos4x+(....)*sin4x=-24cos4x+9sin4x
приведите подобные слагаемые, приравняйте коэффициенты перед синусами и перед косинусами слева и справа и
найдите А и B
y=у(одн)+y_(част)=e^(3x)*(C_(1)*cos4x+C_(2)*sin4x)+ Asin4x+Bcos4x- общее решение неоднородного уравнения с найденными А и B
Решаем задачу Коши.
Выделяем из полученного ответа одно решение, удовлетворяющее условию ( как при нахождении первообразной, проходящей через точку):
y(0)=2
y`(0)=-2
x=0
y=2
y`=-2
Находим y`=(e^(3x)*(C_(1)*cos4x+C_(2)*sin4x)+ Asin4x+Bcos4x))`
Подставляем х=0 y1=-2
y`(0)=C_(2)e^(0)-cos0-sin0
-2=...
y=e^(3x)*(C_(1)*cos4x+C_(2)*sin4x)+ Asin4x+Bcos4x
y(0)=2
2=e^(0)*(C_(1)*cos0+C_(2)*sin0)+ Asin0+Bcos0
Находим С_(1) и С_(2)
О т в е т. y=e^(3x)*(C_(1)*cos4x+C_(2)*sin4x)+ Asin4x+Bcos4x- общее решение неоднородного уравнения с найденными А и B
y=e^(3x)*(C_(1)*cos4x+C_(2)*sin4x)+ Asin4x+Bcos4x- решение неоднородного уравнения
с найденными А и B и С_(1) и С_(2), ,удовлетворяющее начальным условиям ( cм скрин 2) О т в е т Вольфрама
