Задача 56356 y"-y'=2sinx y(0)=2,y'(0)=0...
Условие
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
y``-y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
λ ^2- λ =0
λ *( λ -1)=0
λ _(1)=0 или λ_(2)=1
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, значит общее решение уравнения
имеет вид ( см скрин):
y_(одн)=C_(1)e^( λ _(1)x)+C_(2)*e^( λ _(2)x)
Подставляем
λ _(1)=0 или λ _(2)=1
[b]y= C_(1) e^(0x)+C_(2)e^(x)[/b] - общее решение
Правая часть f(x)=2sinx - "специального" вида
Поэтому частное решение ищем в виде идентичном этой правой части с некоторыми правилами:
y_(част)=Asinx+Bcosx- Чаcтное решение
y`_(част)=Acosx-Bsinx
y``_(част)=-Asinx-Bcosx
подставляем в данное уравнение:
-Asinx-Bcosx-(Acosx-Bsinx)=2sinx
-Asinx-Bcosx-Acosx+Bsinx=2sinx
(B-A)*sinx-(A+B)*cosx=2sinx
находим А и B
{B-A=2
{A+B=0
B=1
A=-1
y=у(одн)+y_(част)= C_(1)+C_(2)e^(x)-sinx+cosx - общее решение неоднородного уравнения
Решаем задачу Коши.
Выделяем из полученного ответа одно решение, удовлетворяющее условию ( как при нахождении первообразной, проходящей через точку):
y(0)=2
y`(0)=0
x=0
y=2
y`=0
Находим y`=(C_(1)+C_(2)e^(x)-sinx+cosx)`
y`=C_(2)e^(x)-cosx-sinx
y`(0)=C_(2)e^(0)-cos0-sin0
0=C_(2)*1-1-0
C_(2)=1
y(0)=2
2=C_(1)+C_(2)e^(0)-sin0+cos0
C_(2)=1
C_(1)=0
О т в е т. y=у(одн)+y_(час)= C_(1)+C_(2)e^(x)-sinx+cosx - общее решение неодн уравнения
y=e^(x)-sinx+cosx - решение удовлетворяющее данным условиям
