Задача 56336 ...

5f953f0df4c6ff7008206538

21.12.2020 19:30:51

Решить интеграл (от 0 до 0,1) ∫ (e^(-4x^2)) dx с точностью до а=10^-3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.12.2020 19:44:58

★

[m]e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...[/m] ⇒

[m]e^{-4x^2}=1+(-4x^2)+\frac{(-4x^2)^2}{2!}+...+\frac{(-4x^2)^{n}}{n!}+...[/m] ⇒


Тогда

[m]∫ ^{0,1}_{0}e^{-4x^2}dx=∫ ^{0,1}_{0}(1+(-4x^2)+\frac{(-4x^2)^2}{2!}+...+\frac{(-4x^2)^{n}}{n!}+...)dx=[/m]


[m]=(x-4\cdot \frac{x^3}{3}+8\cdot \frac{x^5}{5\cdot 2!})|^{0,1}_{0}=0,1-4\cdot \frac{0,1^3}{3}+8\cdot \frac{0,1^5}{5\cdot 2!}= [/m]


Поскольку получается знакочередующийся ряд, то погрешность не превышает модуля первого отброшенного.

Если посчитаем третий:

[m]8\cdot \frac{0,1^5}{5\cdot 2!}=0,0008 < 10^(-3) [/m] это меньше погрешности, то его и надо отбросить,

тогда

[m]∫ ^{0,1}_{0}e^{-4x^2}dx ≈ ∫ ^{0,1}_{0}(1+(-4x^2)+\frac{(-4x^2)^2}{2!})dx=0,1-4\cdot \frac{0,1^3}{3}[/m]= считайте