Задача 56308 Найти частное решение дифференциального...
Условие
y’’+2y’+5y=13e^2x
y(0)=1
y’(0)=4
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y’’+2y’+5y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+5=0
D=4-20=–16
k_(1)=(–2–4*i)/2 ; k_(2)=(–2+4*i)/2 корни комплексные сопряженные
k_(1)=-1-2*I ; k_(2)=-1+2*i
корни комплексно- сопряженные
α=-1; β=2
Общее решение однородного имеет вид:
y_(общее одн.)=e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x
Правая часть
f(x)=e^(2x)
имеет "специальный" вид
поэтому
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неодн) =A*e^(2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неодн)=(A*e^(2x))`=2*A*e^(2x)
y``_(част неодн)=(2*A*e^(2x))`=4*A*e^(2x)
подставляем в данное уравнение:
4*A*e^(2x) +2*(2*A*e^(2x))+5*(A*e^(2x))=13e^(2x)
13A^e^(2x)=13e^(2x)
A=1
y_(общее неодн.)=y_(общее одн.)+y_(част неодн)=e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(2x)
Решение задачи Коши:
y(0)=1
y`(0)=4
y`_(общее неодн)=(e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(2x))`=(e^(-x))`*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)`+(e^(2x))`
y`_(общее неодн)=e^(-x) *(-1)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(-x)*(2C_(1)*cos2x-2C_(2)*sin2x))+2e^(2x)
y`_(общее неодн)=e^(-x) *((-С_(1)-2C_(2))·sin2x+([red][b]-[/b][/red]C_(2)+2C_(1))·cos2x)+2e^(2x)
[red]y(0)=1
y`(0)=4 [/red]
⇒
x=0
y(0)=1
y`(0)=4
подставляем в y=e^(-x)*(С_(1)·sin2x+C_(2)·cos2x)+e^(2x)
и
в y`_(общее неодн)=e^(-x) *((-С_(1)-2C_(2))·sin2x+(-C_(2)+2C_(1))·cos2x)+2e^(2x)
так как e^(0)=1; e^(2*0)=1
sin0=0
cos0=1
получаем систему
{1=С_(1)*sin0+C_(2)·cos0+1 ⇒ [b]C_(2)=0[/b]
{4=(-С_(1)-2C_(2))·sin0+(-C_(2)+2C_(1))*cos0+2 ⇒ 4=0+(0+2C_(1))+2
[b]2C_(1)=2[/b]
[b]C_(1)=1[/b]
y=e^(-x)*(sin2x)+e^(2x)
- частное решение