Задача 56284 ...

5f7769413c2bbb460a93108f

19.12.2020 19:42:50

Найти сумму ряда:

∞
∑ [m]\frac{2}{k^2-1}[/m]
k=2

Инструкция к решению : Найти частичную сумму S_(n)
n
∑ a_(k) = S_(n),
k=2
путем разложения термина (рациональной дроби)
a_(k) = [m]\frac{2}{k^2-1}[/m] на элементарные дроби

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.12.2020 22:23:29

★

[m]\frac{2}{k^2-1}=\frac{A}{k+1}+\frac{B}{k-1}[/m]

[m]2=A\cdot (k-1)+B\cdot (k+1)[/m]

[m]2=(A+B)\cdot k+(B-A)[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}A+B=0\\B-A=2\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]2B=2; B=1; A=-1[/m]

[m]S_{n}= ∑^{n}_{k=2} (-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k-1})=(-\frac{1}{3}+1)+(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+...+(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-2})+(-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1})=[/m]

[m]=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/m]

[m]S=lim_{n → ∞ }S_{n}=1+\frac{1}{2}[/m]