Задача 56233 ...
Условие
Решение
Логарифмируем:
[m]lny=(x-4)^{cosx}[/m]
По свойству логарифма степени:
[m]lny=cosx \cdot ln(x-4)[/m]
Дифференцируем обе части равенства:
[m](lny)`=(cosx \cdot ln(x-4))`[/m]
Справа - производная произведения,
слева производная логарифма, переменная y - зависимая переменная и потому
находим производную [m](lny)`[/m] как производную[i] сложной[/i] функции:
[m]\frac{y`}{y}=(cosx)`\cdot (ln(x-4))+(cosx)\cdot (ln(x-4))`[/m] ⇒
[m]\frac{y`}{y}=(-sinx)\cdot (ln(x-4))+(cosx)\cdot \frac{1}{x-4}[/m] ⇒
[m]y`=y\cdot ((-sinx)\cdot (ln(x-4))+ \frac{cosx}{x-4})[/m]
[m]y`=(x-41)^{cosx}\cdot (-sinx\cdot (ln(x-4))+\frac{cosx}{x-4})[/m] - это ответ.
3.
Дифференцируем обе части равенства:
[m](x^2\cdot cosy-y^2\cdot cosx)`=(0)`[/m]
Переменная y - зависимая переменная и потому
находим [m]y`[/m] остается как производная, а производная[m]x`=1[/m]
[m]2x\cdot cosy+x^2\cdot (-siny)\cdot y`-2y\cdot y`\cdot cosx-y^2\cdot (-sinx)=0[/m]
Переносим слагаемые без [m]y`[/m] вправо:
[m]x^2\cdot (-siny)\cdot y`-2y\cdot y`\cdot cosx=-2x\cdot cosy-y^2\cdot sinx[/m] ⇒
[m] y`\cdot (-x^2\cdot siny-2y\cdot cosx)=-2x\cdot cosy-y^2\cdot sinx[/m]
[m]y`=\frac{2x\cdot cosy+y^2\cdot sinx}{x^2\cdot siny +2y\cdot cosx}[/m]
5.
[m]\left\{\begin{matrix}
x`_{t}=a\cdot (t-sint)`=a\cdot (1-cost)\\ y`_{t}=a\cdot (t-cost)`=a\cdot (1+sint)\end{matrix}\right.[/m]
[m]y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}=\frac{a\cdot (1+sint)}{a\cdot (1-cost)}=\frac{1+sint}{1-cost}[/m]