Задача 56122 Найти двумя способами частное решение...

5f81597093f741676573ce17

13.12.2020 20:23:15

Найти двумя способами частное решение дифференциально-го уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (х/t=0)=х0 , (х/t=0)=х0
а) классическим методом подбора;

б) операторным методом.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.12.2020 22:05:03

★

a)
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

x``(t)-5x`(t)+4x=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-5k+4=0
D=25-4*4=9
k_(1)=1; k_(2)=4- корни действительные различные

Общее решение однородного имеет вид:
x_(одн.)=С_(1)e^(t)+C_(2)e^(4t)

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
x_(част)=At+B

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

x`_(част)=A

x``_(част)=0

0-5A+4At+4B=t-1

4A=1 ⇒ [b]A=1/4[/b]

4B-5A=-1⇒ [b]В=1/16[/b]

y_(част)=(1/4)х+(1/16)

Общее решение :
x=x_(одн.)+x_(част)=С_(1)e^(t)+C_(2)e^(4t)+(1/4)х+(1/16)[/b]



[b]x(0)=1[/b]

1=С_(1)*1+С_(2)*1+1/16


x`=С_(1)e^(t)+4*C_(2)e^(4t)+(1/4)

[b]y`(0)=0[/b]

0=C_(1)+4*C_(2)+(1/4)

C_(2)=-19/48

C_(1)=



x_(Коши)=(64/48)*e^(t)+(-19/48)*e^(4t)+(1/4)х+(1/16)[/b]