Задача 56100 Решить дифф уровнение y^n+y'-2y=x^2*e^4x...
Условие
Решение
(я думаю, что вы не поняли условие, это y`` ( а не y^(n))
Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение [b]второго [/b]прядка с постоянными коэффициентами
y``+y`-2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
λ^2+ λ-2 =0
D=1-4*(2)=9
λ _(1)=(-1-3)/2=-2 или λ_(2)=(-1+3)/2=1
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, значит общее решение уравнения
имеет вид ( cм. скрин, первая строка):
y=C_(1)e^( λ _(1)x)+C_(2)*e^( λ _(2)x)
Подставляем
λ _(1)=-2 или λ _(2)=1
[b]y= C_(1) e^(-2x)+C_(2)e^(x)[/b] - общее решение однородного дифференциального уравнение с постоянными коэффициентами
Правая часть неоднородного имеет "специальный вид"
Поэтому частное решение находим в виде:
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=(Аx^2+Bx+D)*e^(4x)
y`_(частное неодн) =(Аx^2+Bx+D)`*e^(4x)+(Аx^2+Bx+D)*(e^(4x))`=(2Ax+B)*e^(4x)+(Аx^2+Bx+D)*(4*e^(4x))=
=(4Ax^2+(4B+2A)*x+(4D+B))*e^(4x)
y``_(частное неодн)=(4Ax^2+(4B+2A)*x+(4D+B))`*e^(4x)+(4Ax^2+(4B+2A)*x+(4D+B))*(e^(4x))`=
=(8Ax+(4B+2A))*e^(4x)+(4Ax^2+(4B+2A)*x+(4D+B))*(4*e^(4x))=(6A*x^2+(16A+16B)*x+(2A+8B+16D))*e^(4x)
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
(Аx^2+Bx+D)*e^(4x) +(4Ax^2+(4B+2A)*x+(4D+B))*e^(4x)+(6A*x^2+(16A+16B)*x+(2A+8B+16D))*e^(4x)
=x^2*e^(4x)
Делим на e^(4x):
Аx^2+Bx+D+4Ax^2+(4B+2A)*x+(4D+B))+(6A*x^2+(16A+16B)*x+(2A+8B+16D))+(2A+8B+16D)=x^2
Получаем равенство двух многочленов.
Два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты
при одинаковых степенях переменной
Аx^2+Bx+D+4Ax^2+(4B+2A)*x+4D+B+6A*x^2+(16A+16B)*x+2A+8B+16D+2A+8B+16D=x^2
При x^2:
A+4A+6A=1
11А=1
A=1/11
При x^1:
B+(4B+2A)+(16A+16B)=0
B=-18/(11*21)
При x^0:
D+4D+B+2A+8B+16D+2A+8B+16D=0
Находим [red]D[/red]: ( считайте самостоятельно)
Тогда
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(x)+(1/11)x^2-(18/(11*21))x+ [red]D[/red]. Это о т в е т
