Задача 56099 найти общие выражения для производных...

5fd3df9dec9d2930a08964df

12.12.2020 00:08:23

найти общие выражения для производных порядка n от функций y=(sin^2)(x)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.12.2020 10:05:46

★

y`=(sin^2x)`=2sinx*(sinx)`=2sinx*cosx=1*sin2x
y``=(sin2x)`=cos2x*(2x)`=2*cos2x
y```=(2*cos2x)`=2*(-sin2x)*(2x)`=-4*sin2x
y````=(-4*sin2x)`=-4*(cos2x)*(2x)`=-8*cos2x

Замечаем, что производные нечетного порядка - синусы
производные четного порядка - косинусы

производная первого порядка - умножается на коэффициент 1=2^(0)
производная второго порядка - умножается на коэффициент 2=2^(1)
производная третьего порядка - умножается на коэффициент 4=2^2
производная четвертого порядка - умножается на коэффициент 8=2^3

у производной третьего порядка впереди минус
у производной четвертого порядка впереди минус.

Все это надо объединить в формулу.

Например, так

[b]y^((n))= (-1)^(n)*2^(n-1)sin((π/2)+2x)[/b]