Задача 56056 Помогите пожалуйста ???????????? Не могу...

5f6c8c02347ae046112d5167

10.12.2020 11:46:24

Помогите пожалуйста ????????????
Не могу разобраться с гиперболическим тангенсом(th)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.12.2020 12:20:18

★

[m]lim_{x → 0}\frac{1}{x}\cdot (\frac{1}{thx}-\frac{1}{tgx})=lim_{x → 0}\frac{1}{x}\cdot (\frac{chx}{shx}-\frac{cosx}{sinx})=lim_{x → 0}\frac{1}{x}\cdot (\frac{chx\cdot sinx-cosx\cdot shx}{shx\cdot sinx})=[/m]

Далее применить правило Лопиталя.

[m]=lim_{x → 0} \frac{(chx\cdot sinx-cosx\cdot shx)`}{(x\cdot shx\cdot sinx)`}=[/m]

[m]=lim_{x → 0} \frac{shx\cdot sinx+chx\cdot cosx+sinx\cdot shx-cosx\cdot chx}{(x\cdot (shx\cdot sinx)`+shx\cdot sinx}=[/m]

[m]=lim_{x → 0} \frac{2shx\cdot sinx}{x\cdot (chx\cdot sinx+shx\cdot cosx)+shx\cdot sinx}=[/m]


[m]=lim_{x → 0} \frac{2}{x\cdot \frac{chx\cdot sinx+shx\cdot cosx}{shx\cdot sinx}+1}=[/m]


[m]=lim_{x → 0} \frac{2}{\frac{x}{sinx}\cdot \frac{chx\cdot sinx+shx\cdot cosx}{shx}+1}=\frac{2}{1\cdot 2+1}=\frac{2}{3}[/m]


так как

[m]lim_{x → 0}\frac{x}{sinx}=1[/m]

и


[m]lim_{x → 0} \frac{chx\cdot sinx+shx\cdot cosx}{shx}=lim_{x → 0} \frac{(chx\cdot sinx+shx\cdot cosx)`}{(shx)`}=[/m]

[m]=lim_{x → 0} \frac{shx\cdot sinx+chx\cdot cosx+chx\cdot cosx+shx\cdot (-sinx)}{chx}=lim_{x → 0} \frac{2\cdot chx\cdot cosx+chx\cdot cosx}{chx}=lim_{x → 0}2cosx=2[/m]