Задача 56044 Развить в ряд Фурье функцию f (x),...
Условие
Решение
Можно разложить по косинусам ( см скрин)
Тогда
[m]a_{o}=\frac{2}{2π} ∫^{2π}_{0}(-x+π)dx=\frac{1}{π}\cdot (-\frac{x^2}{2}+πx)|^{2π}_{0}=\frac{1}{π}\cdot (-\frac{(2π)^2}{2}+π\cdot 2π)-0=0[/m]
[m]a_{n}=\frac{2}{2π} ∫ ^{2π}_{0}(-x+π)\cdot cos\frac{πnx}{2π}dx=-\frac{1}{π} ∫ ^{2π}_{0}x\cdot cos\frac{nx}{2}dx+ ∫ ^{2π}_{0} cos\frac{nx}{2}dx=[/m]
Первый интеграл считаем по частям:
[m]u=x[/m] ⇒ [m] du=dx [/m]
[m]dv=cos\frac{nx}{2}dx[/m] ⇒ [m] v=\frac{2}{n} ∫ cos\frac{nx}{2}d(\frac{nx}{2})=\frac{2}{n} \cdot sin(\frac{nx}{2})[/m]
[m]=-\frac{1}{π} \cdot (\frac{2}{n} \cdot x\cdot sin(\frac{nx}{2})| ^{2π}_{0}- ∫ ^{2π}_{0} \frac{2}{n}\cdot sin(\frac{nx}{2})dx+∫ ^{2π}_{0} cos\frac{nx}{2}dx=[/m]
[m]=-\frac{1}{π} \cdot \frac{2}{n} \cdot 2π\cdot sin(\frac{n2π}{2})-0 -\frac{2}{n} \cdot\frac{2}{n}\cdot (- cos(\frac{nx}{2})|^{2π}_{0} +\frac{2}{n} sin\frac{nx}{2}|^{2π}_{0}=[/m]
[m]=-\frac{4}{n}sin(πn)-\frac{4}{n^2}\cdot (cosπn-cos0)+\frac{2}{n}\cdot (sinπn-sin0)=[/m]
так как [m] sinπn=0 [/m] при любых [m] n[/m] ∈ [b]N[/b]
[m] cosπn=1 [/m] при [m] n=2k, k [/m] ∈ [b]N[/b]
[m] cosπn=-1 [/m] при [m] n=2k+1, k [/m] ∈ [b]N[/b]
то [m] cosπn=(-1)^{n}, n [/m] ∈ [b]N[/b]
[m]a_{n}=-\frac{4}{n^2}\cdot ((-1)^{n}-1)=\frac{4}{n^2}\cdot (1-(-1)^{n})[/m]
[m]f(x) ≅ ∑^{ ∞}_{1} \frac{4}{n^2}\cdot (1-(-1)^{n})\cdot cos\frac{nx}{2}[/m]- О т в е т
2)
Можно разложить по синусам ( см скрин)
Тогда
[m]a_{n}=\frac{2}{2π} ∫ ^{2π}_{0}(-x+π)\cdot sin\frac{πnx}{2π}dx=-\frac{1}{π} ∫ ^{2π}_{0}x\cdot sin\frac{nx}{2}dx+ ∫ ^{2π}_{0} sin\frac{nx}{2}dx=[/m]
...
[i]Скриншот:[/i]