Задача 56013 ...
Условие
^(∞)Σ_(k=3) = [m] \frac{1}{(k-2)*(k+1)}[/m],
используя следующую формулу:
[m] \frac{1}{(k-2)*(k+1)}[/m] = [m] \frac{A}{(k-2)}+\frac{B}{(k+1)}[/m]
Решение
[m]1=A\cdot (k+1)+B\cdot (k-2)[/m]
A+B=0
A-2B=1
B=-1/3
A=1/3
[m]S_{n}= ∑^{n}_{k=3} \frac{1}{(k-2)\cdot(k+1)}=\frac{1}{3}∑^{n}_{k=3} (\frac{1}{k-2}- \frac{1}{k+1})=[/m]
[m]=(\frac{1}{3-2}-\frac{1}{3+1})+(\frac{1}{4-2}-\frac{1}{4+1})+(\frac{1}{5-2}-\frac{1}{5+1})+(\frac{1}{6-2}-\frac{1}{6+1})+...[/m]
[m]...+ (\frac{1}{(n-2)-2}- \frac{1}{(n-2)+1})+ (\frac{1}{(n-1)-2}- \frac{1}{(n-1)+1})+ (\frac{1}{n-2}- \frac{1}{n+1})=[/m]
Упростить
Записать дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом ( cм. скрин)
[m]=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}[/m]
[m]S=lim_{n → ∞ }S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}[/m]