Задача 55992 Пожалуйста решите одно задание...
Условие
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''-9y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9=0
k_(1)=-3 и k_(2)=3 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(3x) - общее решение однородного уравнения
Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное неодн)=Аx+B
y`_(частное неодн) =A
y``_(частное неодн)=0
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
0-9*(Ax+B)=2-x
-9Ax-9B=-x+2
два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты
при одинаковых степенях переменной
-9А=-1
-9B=2
A=1/9
D=-2/9
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(3x)+(1/9)x-(2/9)
Решение задачи Коши:
y(0)=0
C_(1)e^(0)+C_(2)e^(0)+(1/9)*0-(2/9)=0
y`(0)=1
y`_(общее неодн)=-3*C_(1)e^(-3x)+3*C_(2)e^(3x)+(1/9)
-3C_(1)e^(0)+3C_(2)e^(0)+(1/9)=1
Из системы уравнений:
{C_(1)+C_(2)-(2/9)=0
{-3C_(1)+3C_(2)+(1/9)=1
находим С_(1)=-1/27 и С_(2)=7/27 и получаем частное решение
y=(-1/27)e^(-3x)+(7/27)e^(3x)+(1/9)x-(2/9)