Задача 55922 Решить уравение.1 фото задание , второе...
Условие
Решение
Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
y''-3y'+2y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k+2=0
D=9-8=1
k_(1)=1 и k_(2)=2 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(2x) - общее решение однородного уравнения
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде
y_(частное неодн)=C_(1)(x)e^(x)+C_(2)(x)e^(2x)
Правая часть неоднородного уравнения f(x)=e^(3x)/sqrt(e^(x)+2) общего вида (но бывают особые случаи, тогда решение описывается другими алгоритмами), поэтому применяем так называемый метод вариации произвольных постоянных.
C_(1)(x) и С_(2)(x) - неизвестные функции
Подбирают их так, чтобы
С`_(1)(x)*e^(x)+C`_(2)(x)*e^(2x)=0
С`_(1)(x)*(e^(x))`+C`_(2)(x)*(e^(2x))`=e^(3x)/sqrt(e^(x)+2)
С_(1) и С_(2) находим из системы.
И тогда
y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)
- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
y_(общее неодн)=C_(1)e^(x)+C_(2)e^(2x) +...??