Задача 55908 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x^4-4x^3+4x^2>0\\6x^2-12x-9>0\\x^2-2x-8 ≠0 \end{matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin{matrix}
x^2\cdot (x^2-4x+4)>0\\2x^2-4x-3>0\\x^2-2x-8 ≠0 \end{matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin{matrix}
x^2\cdot (x-2)^2>0\\2x^2-4x-3>0\\x^2-2x-8 ≠0 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
x ≠0; x ≠ 2 \\x < \frac{2-\sqrt{10}}{2} или x > \frac{2+\sqrt{10}}{2};\\x ≠ -2; x ≠ 4 \end{matrix}\right.[/m]
так как
[m]2x^2-4x-3>0[/m]
[m]2x^2-4x-3=0[/m]
[m]D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot (-3)=16+24=40[/m]
[m]x_{1}=\frac{2-\sqrt{10}}{2}[/m] ; [m]x_{2}=\frac{2+\sqrt{10}}{2} [/m]
x < [m]\frac{2-\sqrt{10}}{2}[/m] или x > [m]\frac{2+\sqrt{10}}{2} [/m].
[m]x^2-2x-8 ≠ 0[/m]
[m]D=4+32=36[/m]
[m]x ≠ -2; x ≠ 4[/m]
ОДЗ: [m]x ∈ (- ∞ ;-2) \cup(-2; \frac{2-\sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{2+\sqrt{10}}{2};4) \cup (4;+ ∞ )[/m]
После того как ОДЗ найдена можем преобразовать выражение слева,заменив разность логарифмов логарифмом частного
Неравенство принимает вид:
[m]\frac{log_{4}\frac{x^4–4x^3+4x^2}{6x^2–12x–9}}{x^2–2x–8} ≥ 0[/m]
Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
[m]log_{4}\frac{x^4–4x^3+4x^2}{6x^2–12x–9}=0[/m] ⇒[m] \frac{x^4–4x^3+4x^2}{6x^2–12x–9}=4^{0}[/m] ⇒ [m] \frac{x^4–4x^3+4x^2}{6x^2–12x–9}=1[/m] ⇒так как 6x^2-12x-9 >0, а значит 6x^2-12x-9 ≠ 0
[m]x^4–4x^3+4x^2=6x^2–12x–9[/m] ⇒[m]x^4–4x^3-2x^2+12x+9=0[/m]
[m](x+1)^2\cdot (x-3)^2=0[/m]
x=-1; x=3
Нули знаменателя уже находили, это [m]x = -2; x = 4[/m]
Расставляем знаки:
__+___ (-2) __-___ [-1] __+____ [3] ___-___ (4) __+___
C учетом ОДЗ получаем ответ:
[m] (- ∞ ;-2) \cup[-1; \frac{2-\sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{2+\sqrt{10}}{2};3] \cup (4;+ ∞ )[/m]