Задача 55857 Лопиталь (1 задача)...
Условие
Решение
Произведение u*v всегда можно представить в виде дроби: u/(1/v) или v/(1/u)
[m]lim_{x →\frac{1}{2}} ln(2x)\cdot ln(2x-1)=lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{ln(2x-1)}{\frac{1}{ln(2x)}}[/m]
получили неопределенность
( ∞ / ∞ ) и теперь можно применить правило Лопиталя:
[m]=lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{(ln(2x-1))`}{(\frac{1}{ln(2x)})`}=lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{\frac{(2x-1)`}{2x-1}}{(-\frac{1}{ln(2x))^2)}\cdot (ln(2x)`}= lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{\frac{2}{2x-1}}{(-\frac{1}{ln(2x))^2)}\cdot\frac{2}{2x}}= lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{-xln^2(2x)}{2x-1}=\frac{0}{0} [/m]
Применяем правило Лопиталя еще раз:
[m] lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{(-xln^2(2x))`}{(2x-1)`}= lim_{x →\frac{1}{2}}\frac{(-ln^2(2x)-x\cdot 2ln(2x)\cdot \frac{2}{2x}}{2} =0[/m]