Задача 55767 исследование функции с помощью...
Условие
Решение
x=-1 - вертикальная асимптота, так как lim_(x→ –1) f(x)=∞
x=1 - вертикальная асимптота, так как lim_(x→ 1) f(x)=∞
2) Функция является четной
у(–х)=(–х)^2/((–x)^2-1)=(x)^2/(x^2-1)
y(–x) = y(x)
3)lim_(x→ +∞)f(x)=lim_(x→ +∞)(х)^2/(x^2-1)=1
lim_(x→–∞)f(x)=lim_(x→ -∞)(х-1)^2/(x^2+1)=1
y=1 -[i] горизонтальная асимптота[/i]
3)
Исследование функции с помощью производной:
[m]y`=\frac{(x^2)`\cdot (x^2-1)-x^2\cdot (x^2-1)`}{(x^2-1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{2x\cdot (x^2-1)-x^2\cdot 2x}{(x^2-1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{2x\cdot (x^2-1-x^2)}{(x^2-1)^2}[/m]
[m]y`=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}[/m]
Функция возрастает на (–∞;-1) и на (-1;0)
Функция убывает тает на (0;1) и на (1;+ ∞ )
x=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -.
4) Исследование функции с помощью второй производной:
[m]y``=(y`)`=-\frac{(2x)`\cdot (x^2-1)^2-(2x)\cdot ((x^2-1)^2)`}{((x^2-1)^2)^2}=-\frac{2\cdot (x^2-1)^2-(2x)\cdot (2(x^2-1)\cdot 2x}{((x^2-1)^2)^2}=[/m]
[m]=-\frac{2\cdot (x^2-1-(2x)\cdot 2\cdot 2x}{(x^2-1)^3}=\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}[/m]
y`` >0 при x ∈ (–∞;-1) U (1;+ ∞ ) ⇒ кривая выпукла вниз
y`` < 0 при x ∈ (-1;1)⇒ кривая выпукла вверх