Задача 55722 ...
Условие
Вычислить интеграл ∫ x dx на интервале [0, 2] с помощью суммы Римана:
a) Разделив интервал на 4 равных по длине участка, приняв за x^(×)_(i) крайнюю правую точку каждого участка.
b) Разделив интервал на n равных по длине участка, приняв за x^(×)_(i) крайнюю правую точку каждого участка. Посчитать интеграл, рассчитав предел Lim_(x→∞) Rn
Решение
Геометрический смысл интеграла- площадь под графиком y=x на отрезке [0;2]
Разделив отрезок [0;2] на 4 равные части мы получим 4 участка, площади которых нужно сосчитать
По условию задачи мы фактически должны заменить каждый участок прямоугольником
с высотой [b]в правом конце каждого отрезка[/b]
(см. рис. 2)
Находим площади четырех прямоугольников.
Ответ получаем с избытком. Так как по рисунку видно, что площадь увеличилась.
[m]∫ ^{2}_{0}xdx[/m] ≈ f(0,5)*(0,5-0)+f(1)*(1-0,5)+f(1,5)*(1,5-1)+f(2)*(2-1,5)=
=0,5*(0,5-0)+1*(1-0,5)+1,5*(1,5-1)+2*(2-1,5)=0,5*0,5+1*0,5+1,5*0,5+2*0,5=0,5*(0,5+1+1,5+2)=[b]2,5[/b]
б)
При более мелком разбиении, эта избыточность уже не так велика.
То же самое, но делим на n участков.
Основание каждого прямоугольника будет равно [m]\frac{2}{n}[/m]
Высота - значение в правом конце каждого отрезка ([m]f(x)=x [/m]⇒[m] f(\frac{2}{n})=\frac{2}{n};f(\frac{4}{n})=\frac{4}{n}; ...)[/m]
[m]∫ ^{2}_{0}xdx=lim_{n → ∞}( f(\frac{2}{n})\cdot \frac{2}{n}+f(\frac{4}{n})\cdot \frac{2}{n}+...+f(\frac{2n-2}{n})\cdot \frac{2}{n}+f(2)\cdot \frac{2}{n})=[/m]
[m]=lim_{n → ∞}(\frac{2}{n}\cdot \frac{2}{n}+\frac{4}{n}\cdot\frac{2}{n}+... +\frac{2n-2}{n}\cdot \frac{2}{n}+2\frac{2}{n})[/m]=
выносим за скобки [m] \frac{2}{n}[/m]:
[m]=lim_{n → ∞}\frac{2}{n}\cdot (\frac{2}{n}+\frac{4}{n}+...+\frac{2n-2}{n}+2)=lim_{n → ∞}\frac{2}{n}\cdot (\frac{2+4+...+(2n-2)+2n}{n})=[/m]
в скобках сумма арифметической прогрессии:
[m]=lim_{n → ∞}\frac{2}{n}\cdot (\frac{\frac{2+2n}{2}\cdot n}{n})=lim_{n → ∞}\frac{2(n+1)}{n}=2[/m]
(cм. тему. Приближенное вычисление определенного интеграла. Способ прямоугольников.)
