Задача 55705 Исследовать функцию y=( ln x/ x) ...
Условие
Решение
2. Область изменения функции E(y) =(- ∞;(1/e)]
см. рис.
3. Четность или нечетность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной
4. непериодическая
5.нули функции
y=0
lnx=0
x=1
(1;0) - точка пересечения с осью Ох
6.интервалы знака постоянства
y > 0 при x >1
y < 0 при 0 < x < 1
2.) исследовать с помощью теории пределов
7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций
8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞)(lnx)/(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) (1/x)/1=0
lim_(x→ - ∞) не рассматриваем Согласно области определения
x > 0
9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на + ∞
x=0 - вертикальная асимптота ( справа)
3.) исследовать с помощью производной
y`=((lnx)`*x-(lnx)*x`)/(x^2)
y`=(1-lnx)/(x^2)
y`=
1-lnx=0
lnx=1
x=e
(0) ___+__ (e) __-__
Возрастает на (0;e)
Убывает на (e; + ∞ )
x=e - точка максимума
y(e)=1/e
См. рис.
