Задача 55697 Найти производную функции u в точке М по...

5fb7d87564081d1dafcb02f6

20.11.2020 17:54:43

Найти производную функции u в точке М по направлению, идущему от этой точки к точке P.
u = yz3/x2 + x/z3+z/y4; M(-1, 1, 1); P(1, 2, 3)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.11.2020 23:10:53

★

vector{MP}=(1-(-1);2-1;3-1))=(2;1;2)
|vector{MP}|=sqrt(2^2+1^2+2^2)=sqrt(9)=3

Направляющие косинусы
cos α =2/3
cos β= 1/3
cos γ =2/3

Частные производные

u`_(x)=(yz^3x^(-2) + xz^(-3)+zy^(-4))`_(x)=-2yz^3x^(-3)+z^(-3)+0
u`_(y)=(yz^3x^(-2) + xz^(-3)+zy^(-4))`_(y)=z^3x^(-2)+0-4zy^(-5)
u`_(z)=(yz^3x^(-2) + xz^(-3)+zy^(-4))`_(z)=3yz^2x^(-2)-3xz^(-4)+y^(-4)

Производная по направлению вектора vector{MP}

u`_(vector{MP})=u`_(x)*cosα +u`_(y)*cosβ +u`_(z)*cosγ

u`_(vector{MP})=(-2yz^3x^(-3)+z^(-3))*(2/3) +(z^3x^(-2)+0-4zy^(-5))*(1/3)+(3yz^2x^(-2)-3xz^(-4)+y^(-4))*(2/3)

Частные производные в точке M
u`_(x)(M)=(-2yz^3x^(-3)+z^(-3))_(x=-1; y=1;z=1)=2+1=[green]3[/green]
u`_(y)(M)=(z^3x^(-2)-4zy^(-5))_(x=-1; y=1;z=1)=1-4=-3
u`_(z)(M)=(3yz^2x^(-2)-3xz^(-4)+y^(-4))_(x=-1; y=1;z=1)=3+2=1=7

u`_(vector{MP})(M)=[green]3[/green]*(2/3) +(-3)*(1/3)+7*(2/3)=17/3