Задача 55584 Решить логарифмическую уравнению ...
Условие
Решение
Основное логарифмическое тождество: [m] x^{log_{x}2} =2[/m]; x>0; x ≠ 1
Формула перехода к другому основанию: [m] \frac{2}{log_{\sqrt{2}}(x+7)}= 2log_{x+7}\sqrt{2}[/m]
по свойству логарифма степени: [m]= log_{x+7}(\sqrt{2})^2=log_{x+7}2[/m]
⇒ основное логарифмическое тождество: [m] (x+7)^{\frac{2}{log_{\sqrt{2}(x+7}}}=(x+7)^{log_{x+7}2}=2[/m]; x+7>0; x+7 ≠ 1
[m] 7\cdot x^{\frac{1}{log^2_{2}x^3}}\cdot 2=5+2[/m]
Делим на 14
[m] x^{\frac{1}{log^2_{2}x^3}}=\frac{1}{2}[/m]
[b]Логарифмируем по основанию 2:[/b]
[m] log_{2}x^{\frac{1}{log^2_{2}x^3}}=log_{2}\frac{1}{2}[/m]
[m] \frac{1}{log^2_{2}x^3} log_{2}x=-1[/m]
[m] \frac{log_{2}x}{(log_{2}x^3)^2} =-1[/m]
[m] \frac{log_{2}x}{(3log_{2}x)^2} =-1[/m]
[m] \frac{log_{2}x}{9 log^2_{2}x} =-1[/m] ⇒ [m]9 log^2_{2}x+log_{2}x=0[/m]
[m]log_{2}x\cdot (9 log_{2}x+1)=0[/m]
[m]log_{2}x=0 [/m] или [m](9 log_{2}x+1)=0[/m]
[m]x=1[/m] не входит в ОДЗ
или
[m]x=2^{-\frac{1}{9}}[/m] - о т в е т