Задача 55580 Вычислить интегралы, переходя к полярным...
Условие
математика ВУЗ
317
Решение
★
[m]x= ρ cos φ[/m]
[m]y= ρ sin φ [/m] ⇒ [m]x^2+y^2= ρ ^2[/m] ⇒ [blue][m]\sqrt{x^2+y^2}= ρ[/m] [/blue]
[m]dxdy= ρ d ρ d φ[/m]
Область D ограничена окружностью: [m] y=\sqrt{a^2-x^2}[/m] в первой четверти: [m]0 ≤ x ≤ a[/m]
Поэтому
[m]0 ≤ ρ ≤ a[/m]
[m]0 ≤ φ ≤\frac{π}{2}[/m]
[m]= ∫ ^{\frac{π}{2}}_{0} (∫ ^{a}_{0} ρ \cdot ( ρ d ρ ))d φ =∫ ^{\frac{π}{2}}_{0} (∫ ^{a}_{0} ρ^2 d ρ )d φ =∫ ^{\frac{π}{2}}_{0} (\frac{ ρ ^3}{3})| ^{a}_{0})d φ =\frac{a^3}{3}∫ ^{\frac{π}{2}}_{0}d φ=\frac{a^3}{3}\cdot ( φ )|^{\frac{π}{2}}_{0}
=\frac{a^3}{3}\cdot\frac{π}{2}=\frac{πa^3}{6}[/m]